Гену (человека) проверяй, конечно.
Но как генератор проверить, не снимая?
Но я бы рекомендовал пойти по след.пути (по порядку):
1. проверить клеммы на аккумуляторе. не окислились ли.
2. проверить аккумулятор нагрузочной вилкой.
3. запустить любым способом автомобиль (другим аккумулятором) и вольтметром померить во время работы двигателя, идёт ли на аккумулятор напряжение в районе 14-15 Вольт.